En toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente .
a = c → a + b = c + d
b d b d
a = c → a - b = c - d
b d b d
Propiedad 2 :
En toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente .
a = c → a + b = c + d
b d a
a = c → a - b = c - d
b d a c
Propiedad 3 :
En toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos .
a = c → a + b = c + d
b d a - b c - d
Serie de razones iguales : una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o más razones .
a = c = e = m
b d f n
Propiedad 4 :
En toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes , como uno de los antecedentes es a su consecuente .
a = c = e = m = a + c + e+ m
b d f n b+ d + f+ n
libro virtual : ICARITO "MATEMÁTICA,NUMERO Y OPERACIONES"
Existen otras formas de relaciones entre magnitudes en las que el comportamiento es diferente al de los ejemplos dados de proporcionalidad directa, en estos casos, si los valores de una aumentan, los valores correspondientes en la otra disminuyen.
Por ejemplo, si un automóvil se desplaza con una cierta velocidad y la aumenta, el tiempo que demora en llegar a su destino disminuye.
Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que los valores de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número los recíprocos de los valores correspondientes de la otra magnitud, se dice que son inversamente proporcionales
EJEMPLO 1 :
Si agricultores tardan días en arar un campo, ¿cuánto tardarán agricultores en realizar el mismo trabajo?
Se trata claramente de un ejemplo de proporción inversa, puesto que a más agricultores trabajando menos tiempo se tardará en arar el mismo campo.
Para resolverlo se aplica la regla de tres como se ha enseñado:
Y se resuelve:
días
Es decir, mientras que dos agricultores tardan días, con la ayuda de otros
compañeros consiguen hacer el mismo trabajo en tan solo días.
EJEMPLO 2 : Si 22 patos tienen comida para 10 días. Si tenemos 5 patos, ¿cuántos días tendrán comida? PATOS DÍAS 22 10 5 X
5/22=10/x
Invertimos, puesto que se verifica que: 22.10 = 5.x
x= 22.10/5= 44
Es decir, como habíamos pensado por menos patos tendremos comida para más días. En este caso, para 5 patos tendremos comida para 44 días.
EJEMPLO 3: Si para envasar cierta cantidad de aceite se necesitan 8 barriles de 20 litros de capacidad cada uno, ¿cuántos barriles necesitaremos si los que tenemos son de 5 litros de capacidad? BARRILES CAPACIDAD (LITROS) 8 20 X 5
5/20=8/x
Invertimos, puesto que se verifica que: 20.8 = 5.x
x= 20.8/5=32
Es decir, como habíamos pensado por menos capacidad serán más barriles. En este caso, para 5 litros de capacidad necesitaremos 32 barriles.
EJEMPLO 4:
Si un rectángulo tiene 10 metros de base y 7 metros de altura. Otro rectángulo de igual área tiene 4 metro de base, ¿cuál será la medida de su altura?
BASE ALTURA
10 7
4 X
4/10 =7/x
Invertimos, puesto que se verifica que: 10.7 = 4. x
x = 10.7/4= 17.5
Es decir, como habíamos pensado por menos base tendremos un rectángulo de más altura. En este caso, para 4 metros de base la altura será de 17.5 metros
Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que los valores de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número los valores correspondientes en la otra, se dice que son directamente proporcionales
En el ejemplo de los metros de tela, el costo del corte de tela se obtiene multiplicando la longitud del corte por el precio de un metro que es $ 10. Podemos decir entonces que el costo de una tela es directamente proporcional a la longitud del corte. El número por el que se multiplica se llama factor de proporcionalidad. En este caso es 10 ese factor.
En una proporcionalidad directa dos cantidades cualesquiera de una magnitud y sus correspondientes en la otra forman una proporción.
EJEMPLO 1 :
Si un tren tarda horas en recorrer kilómetros, ¿cuánto tardará en recorrer el doble?
Primero observamos que es un caso de proporción directa ya que a más horas mas kilómetros recorrerá el tren. La respuesta
se puede deducir mentalmente, puesto que si el tren tiene que recorrer el doble de distancia también tardará el doble de tiempo, con lo que
necesitaráh para recorrer loskm. La deducción es correcta,
pero veamos como se resuelve aplicando la regla de tres para
proporciones directas.
Tenemos la siguiente relación:
Es decir, si enh se recorrenkm, enh se recorrerán.
Observamos que la relación también puede expresarse siguiendo
el modelo de igualdad entre fracciones usado para describir el concepto
de proporción:
Donde las dos magnitudes del ejercicio quedan en fracciones distintas:
el tiempo a un lado de la igualdad y la distancia al otro.
Ahora sólo hay que despejar para hallar la solución:
Por tanto el tren tardaráhoras en recorrerkm.
EJEMPLO 2:
Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos dijeron que 5 centímetros del mapa representaban 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?
Si en lugar de 5 centímetros hablásemos del doble de centímetros en el mapa (10 centímetros), ¿en la realidad serían más metros o menos metros?
Serían más metros: justo el doble de metros en la realidad.
Si al duplicar una magnitud (centímetros) también se duplica la otra (metros) estamos hablando de una proporcionalidad directa.
Por lo tanto, vamos a resolver el problema:
Como 5 centímetros representan 600 metros, 1 centímetro representará
600 : 5 = 120 metros
Como 1 centímetro representa 120 metros, 8 centímetros representarán
120 x 8 = 960 metros
EJEMPLO 3:
Si un dólar vale 0,95 euros. ¿Cuántos dólares podré tener con 35 euros?
Planteamiento: DOLARES EUROS
1 0,95
X 35
1/x=0,95/35Si por 1 euros me dan 0,95 dólares, por 35 euros tendré x:
x=35/0,95=36,84
x= 36,84 dólares
*Si quiero cambiar 35 euros me darán 36,84 dólares.
EJEMPLO 4:
Si 6 metros de tela valen 720 $. Averigua cuánto costarán 3 metros y cuarto de tela.
METROS DINERO 6 720 3,25 X
Planteamiento:
720/6=120Si divido la segunda magnitud por la primera obtengo la razón de proporcionalidad. En este caso:
